Deska Galtona: jak z przypadku powstaje porządek

Kulka, kołki i rzut monetą na każdym rzędzie

Deskę z kołkami wymyślił w XIX wieku brytyjski badacz Francis Galton. Kulka spada przez rzędy kołków i na każdym odbija się w lewo albo w prawo – jak przy rzucie monetą. Na dole wpada do przegródki, której numer to liczba odbić w prawo.

Każde pojedyncze odbicie jest pół na pół, a mimo to przegródki nie zapełniają się równo. Na 12 rzędach kulka ma 4096 możliwych dróg. Do skrajnej przegródki prowadzi tylko jedna (zawsze w lewo), a do środkowej aż 924 – czyli 22,6% wszystkich dróg. Wypuść kulki i patrz, jak z przypadkowych odbić wyrasta przewidywalny kształt.

Dlaczego dzwon?

Liczba dróg do przegródki k to symbol Newtona C(12, k), więc kulki układają się według rozkładu dwumianowego – pomarańczowa linia na desce. Przy wielu rzędach ten rozkład coraz bardziej przypomina krzywą Gaussa. To przykład centralnego twierdzenia granicznego: suma wielu drobnych, niezależnych losowych wpływów układa się w przybliżeniu w rozkład normalny. Dlatego krzywa dzwonowa pojawia się tak często tam, gdzie wynik składa się z wielu małych przypadków.

Uwaga na skalę: przy 100 kulkach słupki wyraźnie odstają od linii, przy kilku tysiącach prawie się z nią pokrywają. Pojedyncza kulka jest nieprzewidywalna – przewidywalny jest dopiero tłum.

Losowe nie znaczy równomierne

Każde odbicie jest uczciwe, a wynik – suma odbić – już nie jest równomierny. Tak samo działa rzut dwiema kostkami: każda ściana ma szansę 1/6, ale suma 7 wypada w 6 z 36 układów, a suma 2 tylko w jednym. Możesz to sprawdzić na rzucie kostką, rzucając 2K6 wiele razy.

Droga kulki to także najprostszy spacer losowy(błądzenie losowe): ciąg kroków w lewo i w prawo o tej samej długości. Ten sam model opisuje m.in. ruch cząsteczek w cieczy i dorobek gracza, który za każdym razem stawia złotówkę na rzut monetą.

Człowiek jako generator losowości

Skoro przypadek tworzy tak wyraźne wzory, łatwo go podrobić? Okazuje się, że nie. Badania psychologów od dziesięcioleci pokazują, że ludzie wymyślający „losowy” ciąg zmieniają stronę zbyt często i unikają długich serii, bo wydają się im podejrzane. Prawdziwa moneta takich oporów nie ma – więcej o seriach w artykule czy rzut monetą to naprawdę 50/50. Sprawdź, jak wypadniesz.

Dlatego ani człowiek, ani „sprytny” program bez źródła entropii nie zastąpi generatora losowości. Skąd go bierze komputer, wyjaśniamy w artykule skąd komputer bierze losowość.