Czy rzut monetą to naprawdę 50/50?

Prawdziwa moneta: lekka przewaga strony startowej

W 2007 roku Persi Diaconis, Susan Holmes i Richard Montgomery opisali fizykę rzutu monetą. Moneta podrzucona kciukiem nie tylko obraca się, ale też lekko się chwieje, przez co w locie dłużej pokazuje stronę, od której zaczęła. Według ich modelu powinna lądować na tej samej stronie w około 51% rzutów.

W 2023 roku zespół Františka Bartoša sprawdził to w praktyce: kilkudziesięciu uczestników wykonało 350 757 nagranych rzutów monetami wielu walut. Moneta wylądowała na stronie startowej w 50,8% rzutów (przedział wiarygodności 95%: 50,6–50,9%), a skłonność wyraźnie różniła się między osobami. Samo to, czy był to orzeł, czy reszka, nie miało znaczenia: przy losowej stronie startowej orły wypadały w 50,0% rzutów. Wyniki opublikowano w Journal of the American Statistical Association (preprint w arXiv).

W praktyce: kto widzi, którą stroną do góry leży moneta przed rzutem, odgadnie wynik minimalnie częściej niż co drugi raz. Przy jednym rzucie to bez znaczenia, ale uczciwiej jest, gdy rzucający nie wybiera strony startowej, a moneta wiruje wysoko i długo.

Moneta cyfrowa: dokładnie pół na pół

Rzut monetą online nie ma fizyki, kciuka ani strony startowej. Każda moneta to osobne losowanie jednej z dwóch wartości z kryptograficznie bezpiecznego generatora, więc orzeł i reszka mają dokładnie po 50%, a rzuty są od siebie niezależne. Animacja tylko pokazuje wynik, który zapadł przed nią. W trybie weryfikowalnym wynik pochodzi z publicznej rundy drand i można go sprawdzić dowodem.

Pół na pół nie znaczy po równo

Nawet idealna moneta rzadko daje równo tyle samo orłów, co reszek. Prawo wielkich liczb mówi, że udział orłów zbliża się do 50% wraz z liczbą rzutów. Nie mówi, że znika różnica w sztukach – ta zwykle rośnie, mniej więcej jak pierwiastek z liczby rzutów. W 10 000 rzutach wynik między 4 900 a 5 100 orłów to norma (około 95% prób), a różnica kilkudziesięciu orłów nikogo nie powinna dziwić.

Zaskakują też serie. W 100 rzutach seria co najmniej 6 takich samych wyników z rzędu zdarza się w około 4 na 5 prób, a w 10 000 rzutach najdłuższa seria ma zwykle od 12 do 15 rzutów. Seria nie jest też „długiem” do spłacenia: po pięciu orłach z rzędu szansa na kolejnego orła wciąż wynosi 50%. Przekonanie, że teraz „należy się” reszka, to tzw. błąd hazardzisty.

Jak rzucać uczciwie

• Rzucający nie powinien wybierać, którą stroną do góry zaczyna – najlepiej, żeby jej nie widział.
• Moneta powinna lecieć wysoko i obrócić się wiele razy.
• Gdy nie jesteście w jednym miejscu, użyjcie rzutu monetą online w trybie weryfikowalnym i wyślijcie dowód. Umówcie się wcześniej, że liczy się pierwszy rzut.