Jak losowość robi nas w konia: typer, który nigdy się nie mylił

List od typera, który się nie myli

Pierwszego lutego 2008 roku brytyjska stacja Channel 4 pokazała program iluzjonisty Derrena Browna pod tytułem The System, czyli „System”. Brown twierdził, że potrafi przewidzieć wynik gonitwy konnej na dobę przed jej startem. Dowodem miała być Khadisha, kobieta z Londynu, której przez kilka tygodni wysyłał typy. Pierwszy koń wygrał. Drugi też. Po pięciu trafieniach z rzędu Khadisha nie miała już wątpliwości. Pożyczyła pieniądze, na których stratę nie mogła sobie pozwolić, i w ostatniej gonitwie postawiła 4 tysiące funtów.

Dopiero wtedy Brown wyjaśnił, jak „System” działał naprawdę. Na początku napisał nie do jednej osoby, ale do 7776. Podzielił je na sześć równych grup, a każdej grupie wysłał innego konia z tej samej sześciokonnej gonitwy. Któryś koń musiał wygrać, więc jedna szósta adresatów, czyli 1296 osób, dostała trafny typ. Przed drugą gonitwą Brown napisał tylko do tej grupy i znów podzielił ją na sześć części. Po drugiej gonitwie zostało 216 osób z dwoma trafieniami, po trzeciej 36, po czwartej sześć. Po piątej została jedna. Była nią Khadisha.

Z jej punktu widzenia Brown pięć razy z rzędu wskazał zwycięzcę. Z jego punktu widzenia nie przewidział ani jednej gonitwy. Wysłał tylko dość listów, by ktoś musiał dostać same trafne. Khadisha miała szczęście także na koniec: Brown postawił jej pieniądze na innego konia, niż zapowiedział, a ten koń wygrał. Wyszła z toru z 13 tysiącami funtów i z lekcją, o której jest ten artykuł. Losowość nie oszukuje nas sama. Oszukuje nas to, że widzimy tylko tych, którym się udało, i nie widzimy całej reszty.

Spójrz na to od strony nadawcy

Numer Browna nie był nowy. Matematyk John Allen Paulos opisał go w 1988 roku w książce Innumeracy jako oszustwo z biuletynem giełdowym. Oszust rozsyła 32 tysiące listów z prognozą, czy w przyszłym tygodniu giełda pójdzie w górę, czy w dół. Połowa adresatów dostaje „w górę”, połowa „w dół”. Do tych, u których prognoza się sprawdziła, pisze znowu, i tak tydzień po tygodniu. Po sześciu tygodniach zostaje 500 osób, które widziały sześć trafnych prognoz z rzędu. Każdą z nich oszust prosi o 500 dolarów za siódmą.

W demonstracji poniżej możesz zostać takim nadawcą. Do wyboru są dwa warianty: pięć gonitw po sześć koni i 7776 adresatów pierwszego listu, jak u Browna, albo zarządzający funduszami, których wyniki zależą od rzutu monetą (ten przykład opisujemy tuż pod demonstracją). O wyniku każdej rundy decyduje generator kryptograficzny, czyli taki, którego nie da się przewidzieć. Obok tabeli jest skrzynka jednej z osób, które przetrwały: zobaczysz w niej dokładnie to, co widziała Khadisha.

Wariant z funduszami to przykład z książki Nassima Taleba Ślepy traf z 2001 roku. Taleb każe sobie wyobrazić 10 tysięcy zarządzających, z których żaden nie ma pojęcia o rynku: co roku każdy z równą szansą zarabia albo traci, jakby rzucał monetą. Kto stracił, odpada. Po pierwszym roku zostaje około 5 tysięcy osób, po drugim 2,5 tysiąca, a po piątym około 313; w konkretnej symulacji wyjdzie trochę więcej albo mniej. Każda z tych osób ma za sobą pięć zyskownych lat z rzędu, a więc życiorys, który w branży uchodzi za dowód talentu. Skąd ten sukces? Taleb kwituje to krótko: z czystego szczęścia. Nikt z nich nie rzucił monetą lepiej niż pozostali. Zostali, bo przy tylu rzucających prawie na pewno ktoś zostaje.

Ten mechanizm ma nazwę: błąd przeżywalności. Polega na tym, że oceniamy metodę albo szanse powodzenia, patrząc tylko na tych, którzy przetrwali selekcję, bo tylko oni są jeszcze widoczni. Fundusze, które przez lata traciły, zostają zamknięte albo połączone z innymi i znikają z tabel. Skala jest spora. Według raportu SPIVA, w którym firma S&P Dow Jones Indices co roku rozlicza amerykańskie fundusze akcji, z funduszy istniejących pod koniec 2009 roku do końca 2024 roku dotrwało 49%. Z tych, które istniały pod koniec 2004 roku, dotrwało 36%. Tabela wyników, która pokazuje tylko ocalałych, wygląda więc lepiej, niż wyglądała rzeczywistość. Reklama funduszu pokazuje jego pięć dobrych lat. Nie pokazuje tysięcy funduszy, które w tym samym czasie rzuciły reszkę.

Na tej samej zasadzie sławę zdobyła ośmiornica Paul z akwarium w Oberhausen, która podczas mundialu w 2010 roku trafnie wskazała wynik ośmiu meczów z rzędu, w tym finału. Rzucając monetą, osiem trafień z rzędu uzyskuje jeden typujący na 256. Ile zwierząt, dzieci i prezenterów typowało wtedy mecze w akwariach, zoo i studiach telewizyjnych całego świata, trudno zliczyć. Trafione typy trafiają do gazet, nietrafione nie.

Ktoś zawsze wygrywa

Nadawcą listów bywa też sam przypadek, bez niczyjej złej woli. Najlepiej widać to w Lotto. W pojedynczym zakładzie szansa na szóstkę wynosi 1 do 13 983 816, bo na tyle sposobów można wybrać sześć liczb z 49. Tej liczby nie da się sobie wyobrazić, więc przełóżmy ją na czas. Wyobraź sobie, że grasz jednym zakładem w każdym losowaniu od pierwszego w 1957 roku do 20.10.2026, ostatniego w naszej bazie. To 7420 losowań. Szansa, że w tym czasie choć raz trafisz szóstkę, wyniosłaby około 0,05%, czyli mniej więcej jedna na 1900. Żeby mieć szansę pół na pół, musiałbyś grać przez około 60 tysięcy lat, po trzy losowania w tygodniu.

A jednak szóstki padają regularnie. Według Totalizatora Sportowego w samym 2020 roku główną wygraną trafiło 35 osób. Jak pogodzić jedno z drugim? Odpowiedzią jest prawo wielkich liczb. Mówi ono, że gdy tę samą próbę powtarza się bardzo wiele razy, częstość trafień przestaje być dziełem przypadku i zbliża się do prawdopodobieństwa pojedynczego trafienia. Jeden zakład ma szansę jedną na czternaście milionów. Ale w każdym z 157 losowań w roku gracze wysyłają miliony zakładów. Ile dokładnie, operator nie podaje. Podaje za to po każdym losowaniu liczbę trafionych piątek, a wiadomo, jak często piątka powinna padać na jeden zakład: raz na 54 tysiące. Z liczby piątek i z tych 35 szóstek szacujemy więc, że w jednym losowaniu gra około 3 milionów zakładów. To daje blisko pół miliarda prób rocznie. Przy tylu próbach „jedna na czternaście milionów” to już nie cud, tylko kilkadziesiąt szóstek w roku.

Poniżej możesz ustawić, ile zakładów gra w jednym losowaniu, i zasymulować rok losowań. Model zakłada, że każdy zakład to niezależne losowanie sześciu liczb. Prawdziwi gracze tak nie grają: skreślają daty urodzin i układy na kuponie, przez co wiele zakładów powtarza te same zestawy, a różnych zestawów w grze jest mniej. Nie zmienia to oczekiwanej liczby wygrywających zakładów, ale losowań, w których ktokolwiek trafia, jest trochę mniej niż w modelu, a wygrana częściej dzieli się między kilku graczy.

Czytając o kolejnym milionerze, widzimy więc dokładnie to, co widziała Khadisha: jedną osobę, do której przyszedł trafny list. Nie widzimy pozostałych kilkuset milionów zakładów z tego roku. Dla pojedynczego gracza nic się nie zmienia: jego zakład wciąż ma jedną szansę na czternaście milionów, a to, że „ktoś znowu trafił”, nie dodaje mu ani ułamka. Prawo wielkich liczb dotyczy i operatora, i gracza, tylko operator ogląda setki milionów prób rocznie, a gracz kilkadziesiąt. Nie działa też to prawo tak, jak wielu je rozumie: po serii pustych losowań szóstka nie „należy się” bardziej. O tym nieporozumieniu, zwanym błędem hazardzisty, piszemy w artykule czy rzut monetą to naprawdę 50/50.

Statystycy Persi Diaconis i Frederick Mosteller nazwali tę stronę przypadku prawem naprawdę wielkich liczb: przy dostatecznie dużej liczbie prób prawie każda niedorzeczność w końcu się zdarzy. W swojej pracy z 1989 roku przywołali historię z pierwszej strony New York Timesa: kobieta z New Jersey wygrała główną nagrodę w stanowej loterii dwa razy, w odstępie czterech miesięcy. Gazeta podała, że szansa na to wynosiła 1 do 17 bilionów. Diaconis i Mosteller przyznali, że to poprawna odpowiedź na niewłaściwe pytanie. Jedna na 17 bilionów to szansa, że właśnie ta kobieta, grając dokładnie dwa razy, wygra oba razy. Pytanie powinno brzmieć inaczej: jaka jest szansa, że ktokolwiek z milionów ludzi grających w amerykańskie loterie wygra dwa razy? Statystycy Stephen Samuels i George McCabe z Uniwersytetu Purdue policzyli, że szansa na podwójnego zwycięzcę gdzieś w Stanach w ciągu czterech miesięcy przekracza 1 do 30, a w ciągu siedmiu lat jest większa niż pół na pół. Podwójny zwycięzca nie był więc cudem, tylko kwestią czasu. Przypadkiem padło na nią.

O tym, jak wielu graczy skreśla te same zestawy, przypomniało polskie losowanie z 7 listopada 2024 roku. Wylosowano wtedy liczby 1, 11, 21, 22, 31 i 41, a szóstkę trafiło 11 zakładów naraz. Na każdy z nich przypadło nieco ponad 220 tysięcy złotych zamiast milionów. Piątek, czyli pięciu trafionych liczb, padło 270, choć zwykle jest ich od 20 do 80. Nikt nie przewidział losowania. Po prostu zestaw, który układa się w regularny wzór, skreśla znacznie więcej osób niż zestaw bez wzoru, i tym razem akurat on wypadł z maszyny. Rekord jest zresztą starszy: 30 marca 1994 roku zestaw 11, 16, 23, 30, 35 i 41 trafiło 80 graczy. Maszyna o niczym nie wiedziała. Każdy zestaw ma w niej tę samą szansę.

Cud raz w miesiącu

Lotto jest tylko najbardziej policzalnym przykładem. Matematyk z Cambridge John Littlewood pisał w latach pięćdziesiątych, że zbieg okoliczności zaczyna robić wrażenie, gdy ma szansę mniej więcej jedną na milion. Fizyk Freeman Dyson dopisał do tego progu rachunek, który nazwał prawem Littlewooda. Nazwijmy cudem zdarzenie o szansie jednej na milion. Przez około osiem godzin dziennie człowiek na coś patrzy i czegoś słucha, a zdarzenia, które mógłby zauważyć, przychodzą mniej więcej co sekundę. To daje około 30 tysięcy zdarzeń dziennie i mniej więcej milion w miesiącu. Każdy z nas może więc oczekiwać jednego cudu średnio raz w miesiącu. Reszta to kwestia tego, które zdarzenia zapamiętamy.

Pokrewne złudzenie działa w mniejszej skali i ma własną nazwę: paradoks dnia urodzin. W grupie 23 osób szansa, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, wynosi nieco ponad 50%. Intuicja podpowiada, że to za mało osób, bo mimowolnie porównujemy własne urodziny z urodzinami 22 pozostałych. Tymczasem w takiej grupie każdy może tworzyć parę z każdym, a par jest 253. To już dużo okazji. Dwadzieścia trzy to akurat liczba zawodników, jaką każda drużyna zgłosiła na piłkarskie mistrzostwa świata w 2014 roku. Dziennikarze BBC sprawdzili wtedy daty urodzenia we wszystkich 32 kadrach. W 16 z nich co najmniej dwóch zawodników obchodziło urodziny tego samego dnia, a w pięciu były po dwie takie pary. Połowa, niemal co do jednej drużyny tyle, ile przewiduje rachunek.

Ten sam mechanizm stoi za „ukrytymi przepowiedniami”. W 1997 roku dziennikarz Michael Drosnin wydał książkę Kod Biblii, w której pokazywał, że w hebrajskim tekście Biblii, czytanym co którąś literę, kryją się nazwiska i daty, między innymi zabójstwo premiera Icchaka Rabina. W rozmowie z tygodnikiem Newsweek Drosnin zapowiedział, że uwierzy krytykom, gdy znajdą zaszyfrowaną wiadomość o zabójstwie premiera w Moby Dicku. Matematyk Brendan McKay z Australijskiego Uniwersytetu Narodowego przyjął wyzwanie i znalazł w powieści Melville’a „zapowiedzi” zabójstw Indiry Gandhi, Trockiego, Kennedy’ego, Lincolna i samego Rabina. Kto przeszukuje dość długi tekst na dość wiele sposobów, znajdzie w nim wszystko.

Jedna liczba w sądzie

Dotąd przypadek zwodził graczy i czytelników gazet. Ten sam rodzaj pomyłki potrafi zmylić także sąd. W listopadzie 1999 roku sąd w angielskim Chester skazał Sally Clark, prawniczkę, za zabójstwo dwóch swoich synów. Obaj zmarli jako niemowlęta, w odstępie nieco ponad roku. Biegły oskarżenia, pediatra Roy Meadow, zeznał, że w zamożnej, niepalącej rodzinie nagła śmierć łóżeczkowa niemowlęcia zdarza się raz na 8 543 urodzenia. Dwie takie śmierci w jednej rodzinie oszacował, mnożąc tę liczbę przez samą siebie: raz na 73 miliony. Ławie przysięgłych zabrzmiało to jak pewność.

W tym rachunku są dwa błędy i oba dotyczą losowości. Pierwszy: szansę jednej śmierci wolno pomnożyć przez samą siebie tylko wtedy, gdy druga śmierć nie ma nic wspólnego z pierwszą. Tak nie jest, bo obie mogą mieć wspólną, nieznaną przyczynę genetyczną albo środowiskową. Matematyk Ray Hill oszacował w 2004 roku, że po jednej takiej śmierci ryzyko drugiej w tej samej rodzinie jest od pięciu do dziesięciu razy wyższe niż w rodzinie, której to nie spotkało. Drugi błąd nazywa się błędem prokuratora i jest krewnym listu od typera: patrzymy na szansę zdarzenia i bierzemy ją za odpowiedź na inne pytanie. Nawet poprawnie policzona szansa dwóch śmierci łóżeczkowych to szansa, że spotka to losowo wybraną rodzinę. To nie jest szansa, że pani Clark jest niewinna. Żeby ją ocenić, trzeba zestawić ze sobą oba wyjaśnienia tego, co się stało: dwie śmierci naturalne i podwójne zabójstwo. Zabójstwo dwojga własnych niemowląt jest zdarzeniem jeszcze rzadszym, więc sama rzadkość śmierci naturalnych niczego nie rozstrzyga. Rozstrzygać mogą tylko dowody w tej konkretnej sprawie. Królewskie Towarzystwo Statystyczne wydało w październiku 2001 roku oświadczenie, że liczba 1 do 73 milionów nie ma statystycznych podstaw, a w styczniu 2002 roku napisało w tej sprawie do Lorda Kanclerza. Sąd apelacyjny uchylił wyrok w styczniu 2003 roku, gdy wyszło na jaw, że patolog oskarżenia zataił wyniki badań wskazujące na zakażenie bakteryjne u młodszego syna. Sally Clark spędziła w więzieniu ponad trzy lata.

Najlepsi wypadają gorzej, gdy spróbują drugi raz

Jest jeszcze jedna sztuczka losowości, która nie potrzebuje milionów prób ani sądu. Wystarczy wybrać kogoś dlatego, że właśnie wypadł najlepiej. Opisał ją Francis Galton w 1886 roku, gdy zestawił wzrost 928 dorosłych dzieci ze średnim wzrostem ich rodziców (wzrost matek przeliczył na skalę mężczyzn). Dzieci bardzo wysokich rodziców były wysokie, ale przeciętnie niższe od rodziców. Dzieci bardzo niskich rodziców były niskie, ale przeciętnie wyższe. W jego próbie odchylenie dzieci od średniej wynosiło przeciętnie około dwóch trzecich odchylenia rodziców. Galton nazwał to regresją ku przeciętności, a dziś mówimy o regresji do średniej.

Nie ma w tym żadnej siły, która ciągnie ludzi do środka. Jest zwyczajna losowość. Na każdy wynik, czy to wzrost, czy punkty z testu, czy wynik meczu, składa się coś trwałego i coś przypadkowego. Kto wypadł wyjątkowo dobrze, prawdopodobnie miał i talent, i szczęście. Talent zostaje na następny raz, szczęście nie, więc następny wynik jest zwykle bliżej średniej. To samo dotyczy najgorszych: mieli pecha, który nie musi się powtórzyć.

Psycholog Daniel Kahneman opisał w książce Pułapki myślenia, jak ta prosta rzecz wprowadziła w błąd instruktorów lotnictwa izraelskiego, których szkolił. Jeden z nich tłumaczył mu, że pochwała nie działa: gdy chwalił pilota za wyjątkowo dobry manewr, następny był zwykle gorszy. Gdy krzyczał na pilota za fatalny manewr, następny był zwykle lepszy. Instruktor wyciągnął z tego wniosek, że kara działa, a pochwała szkodzi. Kahneman zobaczył w tym regresję do średniej: wyjątkowo dobry manewr i tak byłby trudny do powtórzenia, a po fatalnym poprawa była prawdopodobna i bez krzyku. Instruktor, pisze Kahneman, miał rację i zarazem zupełnie jej nie miał. Zauważył prawdziwą prawidłowość, ale dopisał do niej przyczynę, która do jej wyjaśnienia nie była potrzebna. Sama poprawa po karze nie dowodzi, że kara działa.

Z tego samego źródła bierze się „klątwa okładki” magazynu Sports Illustrated. W 2002 roku redakcja sama policzyła, że po 913 z 2456 okładek bohatera spotkało niepowodzenie: kontuzja, słabszy sezon albo przegrana. Regresja do średniej tłumaczy sporą część tych spadków bez żadnej klątwy. Sportowiec trafia na okładkę po najlepszym okresie w karierze, więc to, co przychodzi potem, jest zwykle słabsze. Na regresję trafia się też w medycynie. Chory idzie do lekarza albo sięga po cudowny środek wtedy, gdy czuje się najgorzej. Potem czuje się lepiej, bo najgorsze dni rzadko trwają długo, i zasługę przypisuje środkowi. Dlatego w badaniach leków chorych dzieli się losowo na grupę leczoną i grupę, która dostaje placebo. Regresja działa w obu grupach tak samo, więc działanie leku widać dopiero w tym, o ile grupa leczona wypada lepiej od grupy z placebo.

W demonstracji poniżej sto osób pisze test, w którym talent i szczęście ważą tyle samo. Program wybierze dziesięciu najlepszych i dziesięciu najsłabszych, a potem daj wszystkim napisać test drugi raz. Między testami nikt się niczego nie uczy, nikt nikogo nie chwali ani nie karci. Zmienia się tylko szczęście.

Indyk, który wierzył w statystykę

Wszystkie dotychczasowe sztuczki polegały na tym, że patrzyliśmy na za mały wycinek danych: na jeden list zamiast tysięcy, na jednego zwycięzcę zamiast milionów przegranych, na jeden wynik zamiast dwóch. Ostatnia sztuczka jest inna. Czasem mamy mnóstwo danych, a one wciąż milczą o tym, co najważniejsze.

Nassim Taleb opowiada o tym w Czarnym łabędziu z 2007 roku przypowieścią o indyku. Przejął ją z książki filozofa Bertranda Russella z 1912 roku, w której występował kurczak: gospodarz karmił go dzień w dzień, aż pewnego dnia zamiast sypnąć ziarna, ukręcił mu łeb. Taleb zmienił tylko ptaka i datę. Indyk jest karmiony codziennie. Każdy kolejny dzień utwierdza go w przekonaniu, że farmer troszczy się o jego dobro. Po tysiącu dni to przekonanie ma za sobą tysiąc potwierdzeń i żadnego wyjątku. Dnia tysiąc pierwszego przypada Święto Dziękczynienia.

Indyk nie popełnił błędu w rachunkach. Jego dane były prawdziwe, a wniosek z nich poprawny: farmer karmił. Błąd tkwił w założeniu, że jutro będzie takie jak wczoraj: w tysiącu dni nie było ani jednego dnia takiego jak tysiąc pierwszy, więc statystyka z tych dni nie miała jak go zapowiedzieć. Taleb nazywa takie zdarzenia czarnymi łabędziami: są bardzo rzadkie, mają ogromne skutki i dopiero po fakcie wydają się „oczywiste”.

Finanse znają swój dzień tysiąc pierwszy. W poniedziałek 19 października 1987 roku amerykański indeks Dow Jones spadł w jeden dzień o 22,6%, najwięcej w swojej historii. Modele, których używano wtedy do wyceny ryzyka, zakładały, że dzienne zmiany kursów układają się w krzywą dzwonową, czyli rozkład normalny. W tej krzywej drobne wahania są codziennością, a krachy prawie nie istnieją. Ekonomiści Jens Jackwerth i Mark Rubinstein policzyli, co z tego założenia wynika dla kontraktów giełdowych na indeks S&P 500, które tego dnia straciły 29%. Taki spadek był 27 razy większy niż typowa skala dziennych wahań, zwana odchyleniem standardowym. Według krzywej dzwonowej prawdopodobieństwo spadku co najmniej tak dużego to jedynka podzielona przez liczbę ze 160 zerami. Takie zdarzenie nie powinno się trafić ani razu, nawet gdyby giełda działała codziennie od początku wszechświata. Benoît Mandelbrot, matematyk od fraktali, oszacował to łagodniej, na mniej niż jedną szansę na 10⁵⁰, i dodał, że to liczba spoza skali natury. A jednak się zdarzyło, i nie po raz ostatni: w sierpniu 1998 roku fundusz Long-Term Capital Management, prowadzony między innymi przez dwóch noblistów, stracił w miesiąc 44% kapitału, choć według jego modeli taka strata była skrajnie mało prawdopodobna. Prawdziwe zmiany kursów mają, jak mówią statystycy, grube ogony: skrajne wyniki trafiają się o wiele częściej, niż przewiduje krzywa dzwonowa. Kto mierzy ryzyko tą krzywą, jest indykiem, który liczy dni karmienia.

Taleb ma na to jeszcze jedno określenie: błąd ludyczny, od łacińskiego ludus, gra. Polega on na myleniu losowości z gier, w których znamy wszystkie reguły, z losowością życia, w którym ich nie znamy. Kostka ma sześć ścianek i wiemy to z góry. Rynek, pogoda i ludzkie zdrowie mają ścianki, których jeszcze nikt nie widział. Nasze narzędzia, jak rzut kostką albo generator liczb, należą do pierwszego rodzaju: ich reguły są jawne, a każdy wynik można sprawdzić dołączonym dowodem. Właśnie dlatego mówią coś tylko o sobie, a o rynku, pogodzie i zdrowiu nic.

Jak nie dać się zrobić w konia

Z tych historii wynika kilka pytań, które warto sobie zadać, zanim uwierzymy w talent, system albo cud.

• Ilu próbowało? Pięć trafień z rzędu znaczy coś innego, gdy typował jeden człowiek, a co innego, gdy 7776. Zanim ocenisz wynik, zapytaj o mianownik: ile osób, funduszy albo zakładów brało udział. Jeśli nikt nie potrafi go podać, nie da się ocenić, jak niezwykły jest wynik, i to już jest ważna informacja.
• Kogo nie widać? Zamknięte fundusze, przegrane zakłady, firmy, które upadły, i przepowiednie, które się nie sprawdziły, nie trafiają na okładki. Wynik liczony tylko na tych, którzy przetrwali, jest zawyżony.
• Czy wybrano go za wynik? Kto został wybrany dlatego, że właśnie wypadł najlepiej, następnym razem wypadnie pewnie gorzej. Zanim uznasz to za klątwę albo skutek pochwały, pamiętaj o regresji do średniej, która tłumaczy to bez żadnej przyczyny.
• Czy to szansa na zdarzenie, czy na winę? „Raz na 73 miliony” odpowiada na pytanie o przypadek, nie o człowieka. Pytanie o człowieka wymaga porównania z innymi wyjaśnieniami, także tymi bardzo rzadkimi.
• Czy w danych w ogóle był taki dzień? Tysiąc spokojnych dni nie gwarantuje spokojnego następnego. Statystyka z przeszłości mówi o przyszłości tylko przy założeniu, że warunki się nie zmienią, a na skrajne zdarzenia krzywa dzwonowa jest za wąska.

Jeśli chcesz poczuć prawo wielkich liczb na własnej skórze, sprawdź swój zestaw liczb we wszystkich dotychczasowych losowaniach w testerze Lotto. Zobaczysz, ile razy w 7420 losowaniach trafiłbyś trójkę, czwórkę albo piątkę, i przekonasz się, że szóstka prawie na pewno nie padła ani razu. Tobie nie pada. Komuś pada kilkadziesiąt razy w roku.

Źródła: opis programu Derren Brown: The System (Channel 4, 1 lutego 2008), N. N. Taleb, Ślepy traf. Rola przypadku w sukcesie finansowym (2001, wyd. pol. 2006), J. A. Paulos, Innumeracy (1988), SPIVA U.S. Scorecard, Year-End 2024 (S&P Dow Jones Indices, 2025), P. Diaconis, F. Mosteller, „Methods for Studying Coincidences”, Journal of the American Statistical Association 84 (1989), UPI o drugiej wygranej Evelyn Adams (Los Angeles Times, 14 lutego 1986), J. E. Littlewood, A Mathematician’s Miscellany (1953), F. Dyson, „One in a Million”, The New York Review of Books (25 marca 2004), J. Fletcher, „The birthday paradox at the World Cup”, BBC News (16 czerwca 2014), BBC News o ośmiornicy Paulu (26 października 2010), B. McKay, „Assassinations Foretold in Moby Dick!”, D. Kahneman, Pułapki myślenia (2011), F. Galton, „Regression Towards Mediocrity in Hereditary Stature”, Journal of the Anthropological Institute 15 (1886), „That Old Black Magic”, Sports Illustrated (21 stycznia 2002), B. Russell, The Problems of Philosophy (1912), list Royal Statistical Society do Lorda Kanclerza w sprawie Sally Clark (23 stycznia 2002), R. Hill, „Multiple sudden infant deaths – coincidence or beyond coincidence?”, Paediatric and Perinatal Epidemiology 18 (2004), N. N. Taleb, Czarny łabędź (2007), J. C. Jackwerth, M. Rubinstein, „Recovering Probability Distributions from Option Prices”, Journal of Finance 51 (1996), B. Mandelbrot, R. L. Hudson, The (Mis)Behavior of Markets (2004), R. Lowenstein, When Genius Failed (2000), TVN24 o losowaniu Lotto z 7 listopada 2024, Totalizator Sportowy o szóstkach w 2020 roku (money.pl, 2021), dane losowań Lotto z MBNet (CC0).