Dlaczego prawdziwa losowość nie wygląda losowo

iPod, który lubił Steely Dan

W 2005 roku dziennikarz Steven Levy opisał w tygodniku Newsweek swoje podejrzenie. Jego iPod, ustawiony na odtwarzanie losowe, zbyt często puszczał zespół Steely Dan. Czasem grał dwa utwory tej samej grupy z rzędu, a innych wykonawców jakby unikał. Levy zapytał o to matematyka Johna Allena Paulosa i kryptografa Paula Kochera. Obaj odpowiedzieli to samo: tak właśnie wygląda prawdziwa losowość. Zbiegi, serie i puste miejsca są w niej normalne, tylko nasz umysł nie chce ich przyjąć.

Skargi na „nielosowy” shuffle, czyli odtwarzanie w losowej kolejności, płynęły do Apple od wielu użytkowników. W tym samym czasie firma dodała do programu iTunes suwak Smart Shuffle, którym można było zmniejszyć szansę na to, że utwory jednego wykonawcy albo z jednego albumu trafią obok siebie. Levy w swojej książce o iPodzie przytacza, jak Steve Jobs to podsumował: „Robimy to mniej losowe, żeby wydawało się bardziej losowe”.

Właśnie o tym zdaniu jest ten artykuł. Pokażemy, dlaczego prawdziwy przypadek tworzy skupiska i serie, dlaczego człowiek widzi w nich wzór, i co z tym zrobili inżynierowie, statystycy i gracze w lotto. Po drodze trzy razy sprawdzisz własną intuicję.

Bomby nad Londynem

Zacznijmy od historii, która zaczęła się tak jak ta z iPodem, tylko około sześćdziesiąt lat wcześniej i w dużo poważniejszych okolicznościach. W 1944 roku na Londyn spadały niemieckie bomby latające V-1. Mieszkańcy zauważyli, że niektóre dzielnice dostają serie trafień, a inne są omijane. Powstało podejrzenie, że bomby są celowane, a Niemcy wiedzą, gdzie mierzyć.

Sprawdził to R. D. Clarke, aktuariusz, czyli matematyk od ryzyka ubezpieczeniowego, z towarzystwa Prudential. Wziął pod lupę wycinek południowego Londynu o powierzchni 144 kilometrów kwadratowych i podzielił go na siatkę 576 kwadratów, każdy o boku pół kilometra. W badanym okresie spadło na ten obszar 537 bomb. Clarke policzył, w ile kwadratów nie trafiła żadna bomba, w ile jedna, w ile dwie i tak dalej. Potem porównał to z tym, czego należy oczekiwać, gdy 537 bomb spada zupełnie na chybił trafił, każda niezależnie od poprzednich. Takie oczekiwanie bardzo dobrze przybliża rozkład Poissona, czyli wzór na to, jak często rzadkie i niezależne zdarzenia trafiają w tę samą kratkę.

Liczby zgadzają się niemal idealnie. Clarke napisał, że gdyby bomby skupiały się na wybranych miejscach, w tabeli byłoby za dużo kwadratów z wieloma trafieniami i za dużo pustych, a za mało tych pośrednich. Niczego takiego nie było, więc hipoteza o skupiskach nie znalazła w danych żadnego wsparcia. Skupiska, które widzieli mieszkańcy, nie różniły się od tych, jakie tworzy czysty przypadek. W jeden kwadrat trafiło aż siedem bomb, a w 229 nie spadła żadna, dokładnie tak, jak przewiduje rachunek.

W demonstracji poniżej rzucamy 537 punktów na pole podzielone na 576 kratek, tak jak u Clarke’a. Na jednym polu punkty padają naprawdę losowo: losuje je generator kryptograficzny, czyli taki, którego wyników nie da się przewidzieć. Na drugim są sztucznie rozproszone: każdy nowy punkt wybieramy spośród 12 losowych propozycji tak, by znalazł się jak najdalej od wcześniej postawionych. Zgadnij, które pole jest losowe, a potem policz z nami kratki.

Pole rozproszone zwykle wydaje się „bardziej losowe”, bo wygląda porządnie: bez dziur i bez zbitek. Tymczasem to właśnie dziury i zbitki są znakiem prawdziwego przypadku. W losowym polu pusta jest mniej więcej co druga albo co trzecia kratka, a kilkadziesiąt kratek dostaje trzy punkty albo więcej. Pole rozproszone ma zwykle pustych kratek niemal o połowę mniej, a kratek z trzema punktami prawie wcale. Gdyby Clarke dostał takie dane, uznałby je za podejrzane, tyle że z odwrotnego powodu: za równe, by były dziełem przypadku.

Oko, które widzi serie

To, co dzieje się na płaszczyźnie, dzieje się też w czasie. Weźmy najprostszy ciąg zdarzeń: rzuty monetą. W 1974 roku psycholodzy Amos Tversky i Daniel Kahneman opisali w czasopiśmie Science, jak ludzie oceniają takie ciągi. Jako przykład podali dwa ciągi sześciu rzutów: O‑R‑O‑R‑R‑O (orzeł, reszka) i O‑O‑O‑R‑R‑R. Ludzie uznają pierwszy ciąg za bardziej prawdopodobny, choć uczciwa moneta daje oba dokładnie tak samo często. Drugi ciąg „nie wyglądał losowo”. Zdaniem autorów ludzie oczekują, że nawet krótki wycinek losowego ciągu będzie wyglądał jak cały proces: nie tylko da mniej więcej po równo orłów i reszek, ale też będzie je gęsto przeplatał. W takim ciągu wynik zmienia się z rzutu na rzut zbyt często, przez co brakuje w nim dłuższych serii.

Ten sam błąd ujawnia się, gdy prosi się ludzi o wymyślenie losowego ciągu. W 1997 roku Ruma Falk i Clifford Konold zebrali wyniki wielu takich badań. Przy rzutach uczciwą monetą wynik zmienia się na przeciwny średnio w połowie kolejnych rzutów. Badani, gdy wymyślali ciąg, zmieniali wynik średnio w około 60% rzutów, i właśnie takie ciągi oceniali jako „najbardziej losowe”. Prawdziwie losowy ciąg wydaje im się za mało losowy, bo ma za długie serie.

Poniżej widzisz trzy ciągi po 40 rzutów. Jeden to niezależne rzuty uczciwą monetą z generatora kryptograficznego. Dwa wytworzył „nerwowy” generator, który przy każdym rzucie zmienia wynik na przeciwny z prawdopodobieństwem 65%, odrobinę częściej niż ludzie z tamtych badań. Spróbuj wskazać prawdziwą monetę. Podpowiedź kryje się w poprzednim akapicie.

Jeśli chcesz sprawdzić, jak sam wypadasz w roli monety, w artykule o desce Galtona, czyli przyrządzie, w którym kulka na każdym kołku odbija się w lewo albo w prawo jak przy rzucie monetą, możesz wpisać własnych 50 rzutów i porównać je z generatorem. A skąd biorą się długie serie i dlaczego po pięciu orłach reszka wcale „się nie należy”, tłumaczymy w artykule czy rzut monetą to naprawdę 50/50.

Gorąca ręka: pułapka, w którą wpadli też badacze

Skoro ludzie widzą serie tam, gdzie ich nie ma, to może i „passa” koszykarza jest złudzeniem? Tak właśnie uznali w 1985 roku Thomas Gilovich, Robert Vallone i Amos Tversky. Zbadali wiarę w „gorącą rękę”, czyli przekonanie, że koszykarzowi po kilku celnych rzutach z rzędu łatwiej o kolejny. Wierzyła w to zdecydowana większość ze stu ankietowanych kibiców. Badacze przeanalizowali jednak statystyki rzutów z gry drużyny Philadelphia 76ers z sezonu 1980/81, rzuty wolne zawodników Boston Celtics oraz eksperyment z udziałem 26 koszykarzy z Uniwersytetu Cornella, w którym każdy oddał po 100 rzutów. Okazało się, że po celnych rzutach zawodnicy trafiali mniej więcej tak samo często jak po pudłach. Wniosek brzmiał: gorąca ręka to „potężne i powszechne złudzenie poznawcze”. Przez trzydzieści lat był to podręcznikowy przykład tego, jak ludzki umysł dopisuje wzór do przypadku.

W 2018 roku ekonomiści Joshua Miller i Adam Sanjurjo pokazali w czasopiśmie Econometrica, że w tym rozumowaniu kryje się błąd, i to taki, który sam wynika z natury losowości. Chodzi o sam sposób liczenia: bierzemy tylko rzuty oddane zaraz po celnym trafieniu i sprawdzamy, jaka ich część również była celna. Zastąpmy koszykarza uczciwą monetą, w której orzeł oznacza trafienie, a reszka pudło. Wydaje się, że udział orłów wśród rzutów wykonanych zaraz po orle powinien wynieść 50%. W krótkiej serii tak nie jest. Zobacz to na trzech rzutach.

Dwa ciągi nie mają żadnego rzutu po orle, więc odpadają. W sześciu pozostałych udział orłów po orle dwa razy wynosi 100%, raz 50%, a trzy razy zero. Średnia z tych sześciu wartości to 5/12, czyli nieco ponad 41% zamiast spodziewanych 50. Uczciwa moneta, liczona w ten sposób, wygląda więc na „zimną”: po orle orzeł wypada rzadziej niż w połowie przypadków. Skąd to się bierze? Liczymy średnią z ciągów, a nie z rzutów. Gdy orzeł wypada w ciągu tylko raz, na pierwszym albo drugim miejscu, zaraz po nim musi być reszka, i taki ciąg wnosi do średniej zero. Trzy orły z rzędu zawierają dwa trafienia po orle, ale to wciąż jeden ciąg, który wnosi do średniej tylko jedną setkę. Pechowe ciągi są więc liczniejsze niż szczęśliwe. Gdyby zamiast tego zsumować wszystkie rzuty po orle ze wszystkich ciągów, wyszłoby 4 z 8, czyli równo połowa. Im dłuższy ciąg, tym mniejszy ten efekt, ale rośnie on, gdy liczy się rzuty po kilku trafieniach z rzędu, a tak właśnie liczono w badaniu z Cornell. Według Millera i Sanjurjo w stu rzutach uczciwą monetą udział orłów po trzech orłach wypada średnio o około 8 punktów procentowych niżej niż udział orłów po trzech reszkach.

Gdy Miller i Sanjurjo uwzględnili tę poprawkę, wynik z 1985 roku się odwrócił. Po uwzględnieniu obciążenia zawodnicy z Cornella trafiali po serii celnych rzutów o kilkanaście punktów procentowych częściej niż po serii pudeł. Według autorów gorąca ręka nie jest więc mitem, a przynajmniej widać ją w danych z tamtego eksperymentu. Spór o to, jak silne jest to zjawisko, wciąż trwa. Dla nas ważniejsza jest sama lekcja: losowość potrafi oszukać nie tylko kibica, ale i statystyka, który chciał kibica poprawić.

Spotify robi losowość mniej losową

Wróćmy do muzyki. W 2014 roku Spotify miało dokładnie ten sam problem co Apple dziewięć lat wcześniej. Użytkownicy pisali, że funkcja odtwarzania losowego nie jest losowa, bo gra kilka utworów tego samego wykonawcy jeden po drugim. Programista Lukáš Poláček opisał na blogu firmy, jak to rozwiązano. Od początku istnienia serwisu playlisty tasował algorytm Fishera–Yatesa, który daje każdą możliwą kolejność z dokładnie tą samą szansą. Czyli naprawdę losowo. Tyle że w naprawdę losowej kolejności dwa utwory tego samego wykonawcy obok siebie to rzecz zwyczajna, tak jak dwie bomby w jednym kwadracie Londynu.

Zespół uznał, że użytkownicy nie chcą losowości, tylko równomiernego przemieszania. Zrobił więc to, co Apple: zrezygnował z pełnej losowości. Pomysł wziął z wpisu Martina Fiedlera o „sztuce tasowania muzyki” i z grafiki komputerowej, gdzie podobny problem rozwiązuje dithering, czyli technika rozpraszania czarnych i białych punktów tak, by nie zbijały się w plamy. Nowy algorytm bierze utwory każdego wykonawcy z osobna i rozkłada je wzdłuż playlisty w mniej więcej równych odstępach. Odstępy są losowo skracane albo wydłużane o około jedną piątą: w przykładzie z czterema utworami jednego wykonawcy odstęp wynosił od 20 do 30 procent długości listy zamiast równych 25. Początek jest losowo przesunięty, żeby lista nie wyglądała jak rozkład jazdy. Na końcu wszystkie utwory układa się według wyliczonych pozycji.

Poniżej możesz tasować playlistę czterech wykonawców po pięć utworów na oba sposoby. Zwróć uwagę, jak często w prawdziwym tasowaniu ten sam wykonawca gra dwa razy z rzędu.

Rozłożona lista jest przyjemniejsza do słuchania, ale nie jest w pełni losowa: nie każda kolejność ma w niej tę samą szansę, a niektóre są wręcz niemożliwe. Gdyby chodziło o losowanie kolejności występów na konkursie albo o rozdanie nagród, taki algorytm byłby oszustwem. Dlatego nasze losowanie kolejności tasuje listę algorytmem Fishera–Yatesa i niczego nie wygładza, a w trybie weryfikowalnym zostawia dowód, z którego każdy może odtworzyć wynik. To, że dwie osoby z tej samej firmy wylosowały sąsiednie miejsca, nie jest usterką.

Lotto: 5, 6, 7, 8, 9

Z taką samą nieufnością na „zbyt równe” wyniki reagują gracze w loteriach liczbowych. Gdy 1 grudnia 2020 roku w południowoafrykańskiej grze PowerBall wylosowano liczby 5, 6, 7, 8 i 9 oraz dodatkową 10, w mediach społecznościowych zawrzało. Komentujący oskarżali operatora o oszustwo, bo taki wynik „nie może być losowy”. Operator, firma Ithuba, odpowiadał, że każdy zestaw liczb ma tę samą szansę. I miał rację: zestaw 5–6–7–8–9 jest dokładnie tak samo prawdopodobny jak 3–17–24–38–41, tylko ten drugi nie rzuca się w oczy. Ciekawsze jest co innego: główną wygraną podzieliło aż 20 zwycięskich zakładów. Zestaw, który tylu uznało za niemożliwy, obstawiło sporo graczy.

W polskim Lotto nie trzeba czekać na pięć kolejnych liczb, żeby zobaczyć to zjawisko. Wystarczy pytanie, jak często wśród sześciu wylosowanych liczb są dwie sąsiednie, na przykład 23 i 24. Z rachunku prawdopodobieństwa wynika, że powinno się to zdarzać w 49,5% losowań. We wszystkich 7420 losowaniach od 1957 roku do 20.10.2026 taka para padła w 49,9% losowań. Para sąsiednich liczb to więc w Lotto norma: wypada mniej więcej w co drugim losowaniu. Kto ich unika, bo „nie wyglądają losowo”, nie zmniejsza swoich szans, ale też ich nie zwiększa. Jeśli coś się zmienia, to tylko liczba osób, z którymi trzeba by się podzielić wygraną, bo popularne zestawy obstawia więcej graczy. Jak sprawdzić całą historię losowań testem statystycznym, pokazujemy w artykule czy Lotto jest uczciwe.

Jak rozpoznać prawdziwą losowość

Z tych historii wynika kilka prostych zasad.

• Nie oceniaj losowości na oko. Oko szuka wzorów i znajduje je także w szumie. Skupiska, serie i puste miejsca są w losowości normalne.
• Licz. Clarke policzył kratki, Gilovich serie, Miller rzuty po trafieniu. Dopiero gdy porównamy policzone wyniki z rachunkiem prawdopodobieństwa, widać, czy coś naprawdę odstaje. Służy do tego między innymi test chi-kwadrat, czyli miara tego, jak bardzo dane różnią się od oczekiwanych, którą opisujemy przy losowaniach Lotto.
• Za równo też bywa podejrzane. Wyniki bez skupisk i bez serii, idealnie rozłożone, częściej są dziełem człowieka albo wygładzającego algorytmu niż przypadku.
• Odróżniaj wygodę od uczciwości. Shuffle w odtwarzaczu może być „mniej losowy”, bo nikomu nie robi krzywdy. Losowanie, od którego coś zależy, musi być losowe naprawdę, a najlepiej dodatkowo sprawdzalne.

Nasze narzędzia niczego nie wygładzają. W generatorze liczb, rzucie monetą i losowaniu kolejności wynik pochodzi z generatora kryptograficznego albo z sieci drand, czyli niezależnego, publicznego źródła losowych wartości, a dołączony dowód pozwala każdemu odtworzyć losowanie. Jeśli więc generator liczb poda Ci trzy razy z rzędu siódemkę, to samo w sobie nie jest oznaką awarii. Tak właśnie wygląda prawdziwa losowość.

Źródła: S. Levy, The Perfect Thing: How the iPod Shuffles Commerce, Culture, and Coolness (2006), R. D. Clarke, „An Application of the Poisson Distribution”, Journal of the Institute of Actuaries 72 (1946), A. Tversky, D. Kahneman, „Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases”, Science 185 (1974), R. Falk, C. Konold, „Making Sense of Randomness: Implicit Encoding as a Basis for Judgment”, Psychological Review 104 (1997), T. Gilovich, R. Vallone, A. Tversky, „The Hot Hand in Basketball: On the Misperception of Random Sequences”, Cognitive Psychology 17 (1985), J. B. Miller, A. Sanjurjo, „Surprised by the Hot Hand Fallacy? A Truth in the Law of Small Numbers”, Econometrica 86 (2018), L. Poláček, „How to shuffle songs?”, Spotify Labs (2014), M. Fiedler, „The art of shuffling music” (2007), TimesLIVE o losowaniu PowerBall z 1 grudnia 2020, dane losowań Lotto z MBNet (CC0).