Rozkład normalny: krzywa Gaussa w praktyce

Czym jest rozkład normalny

Rozkład normalny (rozkład Gaussa) opisuje wielkości, które najczęściej przyjmują wartości blisko średniej, a im dalej od niej, tym rzadziej – symetrycznie w obie strony. Jego wykres to charakterystyczna krzywa dzwonowa, czyli krzywa Gaussa. Opisał go już w XVIII wieku Abraham de Moivre, a nazwę wziął od Carla Friedricha Gaussa, który użył go do opisu błędów pomiarów.

Rozkład wyznaczają dwie liczby:

• średnia μ – środek krzywej, najczęstsza wartość,
• odchylenie standardowe σ – szerokość krzywej, czyli typowa odległość od średniej.

Zapisujemy to jako N(μ, σ²). Wzór na gęstość prawdopodobieństwa wygląda groźnie, ale mówi tylko tyle, że szansa maleje wykładniczo z kwadratem odległości od średniej:

Pole pod całą krzywą wynosi 1 (100%), a pole pod jej fragmentem to prawdopodobieństwo, że wartość wypadnie w danym przedziale. Przesuń suwaki i zobacz, jak zmienia się kształt:

Reguła trzech sigm (68–95–99,7)

Niezależnie od μ i σ w rozkładzie normalnym zawsze:

• około 68,27% wartości leży w odległości do 1σ od średniej,
• około 95,45% – do 2σ,
• około 99,73% – do 3σ.

Przykład: wyniki większości współczesnych testów IQ skaluje się tak, by miały średnią 100 i odchylenie 15. Wynik między 85 a 115 ma więc około dwóch trzecich osób, a powyżej 130 (dwa odchylenia ponad średnią) – tylko około 2,3%.

Skąd się bierze: suma wielu przypadków

Rozkład normalny pojawia się tak często dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu: suma wielu niezależnych losowych składników o skończonej wariancji ma w przybliżeniu rozkład normalny, nawet jeśli każdy składnik z osobna wygląda zupełnie inaczej. Widać to na desce Galtona, a jeszcze prościej – na kościach. Jedna kość daje rozkład płaski, a suma kilku zaczyna przypominać dzwon:

Dlatego rozkład normalny dobrze opisuje m.in. błędy pomiarów i wiele cech, na które składa się mnóstwo drobnych wpływów. Nie opisuje za to wszystkiego: dochody są silnie przesunięte w prawo, czasy oczekiwania mają zupełnie inny kształt, a zmiany cen na giełdzie częściej niż w rozkładzie normalnym przyjmują skrajne wartości.

Standaryzacja i tablice

Każdy rozkład normalny da się sprowadzić do standardowego N(0, 1) – wystarczy policzyć, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej:

Prawdopodobieństwo, że wynik będzie nie większy niż z, oznacza się Φ(z) (dystrybuanta). Kiedyś odczytywało się ją z drukowanych tablic statystycznych. Poniżej kalkulator, który liczy ją dokładnie, i pełna tablica do odczytu. Przykład: dla IQ = 130 mamy z = (130 − 100) / 15 = 2, a Φ(2) ≈ 0,9772, więc wyższy wynik ma około 2,28% osób.

Rozkład normalny w Excelu

W polskiej wersji Excela te same wartości dają funkcje:

• ROZKŁ.NORMALNY(x; średnia; odchylenie_std; PRAWDA) – prawdopodobieństwo P(X ≤ x); z argumentem FAŁSZ zwraca gęstość,
• ROZKŁ.NORMALNY.S(z; PRAWDA) – Φ(z) dla rozkładu standardowego,
• ROZKŁ.NORMALNY.S.ODWR(prawdopodobieństwo) – odwrotnie: z dla danego Φ(z), np. 1,96 dla 0,975.

A jeśli chcesz zobaczyć rozkład sumy na prawdziwych rzutach, rzuć kilkoma kośćmi naraz w rzucie kostką – np. 3K6 – i zapisuj sumy.