Czy Lotto jest uczciwe? 7420 losowań pod lupą

Co znaczy, że losowanie jest uczciwe

Uczciwa maszyna losująca spełnia dwa warunki: każda liczba ma w każdym losowaniu tę samą szansę i żadne losowanie nie zależy od poprzednich. Tego drugiego nie widać w pojedynczym wyniku, ale oba zostawiają ślad w długiej historii. Jeśli któraś kula byłaby choć trochę cięższa, po tysiącach losowań padałaby wyraźnie częściej od innych.

Sprawdzamy to na 7420 losowaniach Lotto od 27.01.1957 do 20.10.2026 (archiwum wyników MBNet, licencja CC0). Jedno zastrzeżenie od razu: statystyka nie udowodni, że losowanie jest uczciwe. Może najwyżej pokazać, że wyniki wyglądają dokładnie tak, jak wyglądałyby z uczciwej maszyny, albo że nie wyglądają.

Ile razy padła każda liczba

Gdyby każda liczba padała równie często, przy 7420 losowaniach po 6 z 49 każda pojawiłaby się przeciętnie 909 razy. Tak wygląda rzeczywistość:

Najczęściej padła liczba 17 (981 razy), najrzadziej 48 (825 razy). Różnica 156 wystąpień brzmi poważnie, ale trzeba ją porównać z tym, jak bardzo wynik uczciwej maszyny waha się sam z siebie. Liczba wystąpień jednej liczby ma odchylenie standardowe około 28, więc 17 leży 2,6 odchylenia nad średnią, a 48 3,0 pod nią. Przy 49 liczbach któraś zawsze odstaje bardziej niż reszta, więc ocenianie po najbardziej skrajnych liczbach niewiele mówi: oko łatwo przecenia albo lekceważy takie różnice. Dlatego statystycy mają test, który ocenia wszystkie liczby naraz.

Test chi-kwadrat krok po kroku

Test chi-kwadrat Pearsona sprawdza, czy obserwowane liczebności pasują do oczekiwanych. Dla Lotto wygląda tak:

1. Liczymy, ile razy każda liczba powinna paść: e = liczba losowań × 6 / 49 = 909.
2. Dla każdej liczby bierzemy różnicę między tym, ile razy padła (c), a oczekiwaniem, podnosimy do kwadratu i dzielimy przez oczekiwanie. Sumujemy po wszystkich 49 liczbach.
3. Porównujemy sumę z rozkładem chi-kwadrat o 48 stopniach swobody (49 liczb minus jedna, bo suma wystąpień jest z góry znana). Wynik to wartość p: szansa, że uczciwa maszyna da odchylenia co najmniej tak duże.

Jest jedna pułapka. Klasyczny test zakłada, że każde losowanie daje jedną kulę. W Lotto pada sześć różnych liczb naraz i żadna nie może się powtórzyć w tym samym losowaniu, więc liczebności wahają się trochę mniej niż przy osobnych losowaniach. Suma z kroku 2 ma wtedy średnią nie 48, a 49 − 6 = 43, i trzeba ją przeskalować o 48/43. Bez tej poprawki suma dla Lotto wynosi 55,8, a test podaje p ≈ 0,2, czyli jest zbyt łagodny. Po poprawce wychodzi χ² ≈ 62,3 i p ≈ 0,08.

Co to znaczy? Mniej więcej w 8% uczciwych historii o tej długości odchylenia byłyby co najmniej tak duże jak w prawdziwym Lotto. Umowny próg „podejrzanego” wyniku to 5%, więc Lotto przechodzi test bez zastrzeżeń. Nie musisz wierzyć wzorom: poniżej Twoja przeglądarka wylosuje setki uczciwych historii po 7420 losowań i policzy dla każdej to samo.

Czy test w ogóle by coś zauważył?

Test, który zawsze mówi „w porządku”, byłby bezwartościowy. Sprawdźmy więc, co się dzieje, gdy maszyna jest oszukana: jedna kula, siódemka, jest „cięższa” i częściej trafia do wylotu. Ustaw, o ile, i zobacz, ile losowań potrzeba, zanim test to wyłapie.

Wyniki z 200 symulacji dla każdego wariantu: siódemkę cięższą o 10% test wychwytuje w 7% historii po 100 losowań (niewiele więcej niż 5% fałszywych alarmów uczciwej maszyny), w 21% historii długości prawdziwego Lotto i w 68% historii po 20 000 losowań. Przewagę 30% przy 7420 losowaniach widzi we wszystkich 200 symulacjach. Duże oszustwo wyszłoby więc szybko, a małe mogłoby się ukryć nawet w tysiącach losowań. Wynik testu „wszystko w porządku” znaczy tyle, że nie widać dużych odchyleń, a nie, że na pewno nie ma żadnych.

Inne ślady: sąsiednie liczby, powtórki i sumy

Częstość to nie jedyne, co można sprawdzić. Trzy inne zestawienia z tych samych danych:

• Sąsiednie liczby. Para kolejnych liczb (np. 12 i 13) pojawiła się w 49,9% losowań, a rachunek prawdopodobieństwa daje 49,5%. Zestawy z sąsiadami wydają się „mało losowe”, a są zupełnie zwyczajne.
• Powtórzone szóstki. Żaden zestaw sześciu liczb nie padł dwa razy. Możliwych zestawów jest 13 983 816, ale jak w paradoksie urodzin przy tylu losowaniach jakaś powtórka miała około 86,0% szans. Jej brak to więc wynik, który zdarza się w około 14,0% uczciwych historii: trochę szczęścia, nic podejrzanego.
• Sumy liczb. Średnia suma sześciu liczb wynosi 149,1, a teoretyczna 150. Cały rozkład sum pokrywa się z dokładnym rachunkiem:

Multi Multi i pułapka wielu testów

Na stronach statystyk Lotto ten sam test liczymy dla każdej gry i każdego okresu jej zasad. Oto wszystkie wyniki:

Multi Multi (p ≈ 0,02) spada poniżej progu 5%. Czy to dowód? Nie. Testów jest 11. Gdyby wszystkie maszyny były uczciwe, szansa, że choć jeden da p poniżej 0,05, wynosi 1 − 0,95¹¹ ≈ 43,1%. Przy wielu testach pojedynczy „podejrzany” wynik jest więc spodziewany. Ostrożniejszy próg (poprawka Bonferroniego: 0,05 / 11 ≈ 0,005) nie oznacza żadnej gry. Jest też trzecia możliwość, o której łatwo zapomnieć: błąd w samych danych, np. przy przepisywaniu archiwum, wyglądałby w teście tak samo jak krzywa maszyna.

Czego statystyka nie powie

• Nie przewidzi kolejnego losowania. Liczba, która padała często, nie jest „gorąca”, a ta, która dawno nie padła, nie jest „zaległa”. Maszyna nie pamięta poprzednich wyników; wiara, że jest inaczej, to błąd hazardzisty.
• Nie udowodni uczciwości. Pokazuje tylko, że w 7420 losowaniach nie widać odchyleń, które test potrafi wykryć.
• Nie zwiększy szansy na wygraną. Szóstka to wciąż 1 do 13 983 816 w każdym losowaniu, niezależnie od wybranych liczb.

Dane z tego artykułu zobaczysz dla każdej gry w statystykach Lotto, swoje liczby sprawdzisz na całej historii w testerze Lotto, a zestaw losowy wylosujesz w generatorze Lotto. Graj odpowiedzialnie.